Blog

Jul 17, 2023

helicoide fotónico

Scientific Reports volumen 13, Número de artículo: 13934 (2023) Citar este artículo 89 Accesos Detalles de métricas Investigamos las fases topológicas fotónicas en metamateriales quirales caracterizados por la

Scientific Reports volumen 13, número de artículo: 13934 (2023) Citar este artículo

89 Accesos

Detalles de métricas

Investigamos las fases topológicas fotónicas en metamateriales quirales caracterizados por tensores magnetoeléctricos con componentes quirales diagonales. El medio subyacente se considera un análogo fotónico del semimetal topológico que presenta un cono de Weyl y una superficie cilíndrica en el espacio vectorial de ondas de frecuencia. Cuando se cumple la condición de "giro" degenerado, el sistema fotónico se puede reorganizar en dos modos híbridos que están completamente desacoplados. Al introducir los estados de pseudoespín como base para los modos híbridos, el sistema fotónico se describe mediante dos subsistemas en forma de hamiltonianos de órbita de espín de espín 1, que dan como resultado números de Chern de espín distintos de cero que determinan las propiedades topológicas. Los modos de superficie en la interfaz entre el vacío y el metamaterial quiral existen en su espacio común en el espacio vectorial de onda, que se formulan analíticamente mediante ecuaciones algebraicas. En particular, los modos superficiales forman un par de láminas superficiales en espiral que se envuelven alrededor del cono de Weyl, asemejándose a los estados superficiales helicoidales que ocurren en los semimetales topológicos. En la frecuencia de Weyl, los modos de superficie contienen dos estados similares a arcos de Fermi que se concatenan para producir un segmento de línea recta.

Las fases topológicas son nuevas fases de la materia caracterizadas por cantidades enteras conocidas como invariantes topológicas, que permanecen constantes bajo deformaciones continuas arbitrarias del sistema. El estado Quantum Hall (QH)1 es el primer ejemplo de fase topológica bidimensional (2D), perteneciente a la clase con simetría de inversión de tiempo (TR) rota debido a la presencia de un campo magnético estático. El estado Hall de espín cuántico (QSH)2,3,4 es una fase topológica 2D diferente sin el campo magnético y conserva la simetría TR, donde el acoplamiento espín-órbita es responsable de los caracteres topológicos. Las propiedades topológicas de los estados QH se caracterizan por invariantes TKNN o números de Chern5, mientras que las de los estados QSH se caracterizan por invariantes \(Z_2\)2 o números de Chern de espín6. Los conceptos teóricos desarrollados en los estados QSH se generalizan a tres dimensiones (3D), lo que lleva a la clase más general de aisladores topológicos 3D7,8.

Una característica notable del estado QSH es la aparición de estados de borde sin espacios dentro de la banda prohibida en masa. La dirección de propagación de los estados de borde está bloqueada por el spin9, lo que permite estados de borde topológicamente protegidos que se propagan unidireccionalmente sin retrodispersión10. Como los estados de borde están protegidos por la topología masiva, son insensibles a pequeñas perturbaciones que no cambian la topología. De manera similar al caso de las fases topológicas 2D, los estados de superficie sin espacios aparecen dentro de la banda prohibida entre dos bandas topológicamente distintas en aisladores topológicos 3D11,12, que se pueden realizar tanto en sistemas TR rotos13,14 como en sistemas TR invariantes15,16,17. A diferencia de los aisladores topológicos 3D que son fases topológicas con espacios, las fases topológicas sin espacios 3D son un nuevo tipo de fases conocidas como semimetales topológicos18,19,20,21,22.

La mayoría de los semimetales topológicos se caracterizan por degeneraciones de Weyl, que son degeneraciones entre bandas topológicamente desiguales. La firma principal de las fases topológicas sin espacios 3D es la aparición de puntos Weyl existentes en los sistemas que carecen de simetría TR, simetría de inversión o ambas. Los puntos de Weyl se entienden como los monopolos de curvatura de Berry en el espacio de momento que portan cargas topológicas cuantificadas, que son iguales a las invariantes topológicas del sistema. Una perspectiva útil sobre los semimetales de Weyl es verlos como el estado de transición entre un aislante topológico y un aislante trivial22. Una característica importante de los puntos de Weyl es la existencia de arcos de Fermi que conectan los puntos de Weyl, correspondientes a los estados de superficie topológicamente protegidos que son resistentes al desorden. En particular, los estados de superficie pueden formar una lámina de superficie en espiral que conecta los conos superiores e inferiores, que están protegidos de espacios por simetrías no simórficas y se denominan estados de superficie helicoidales23.

Los novedosos conceptos de fases topológicas se han extendido a los sistemas fotónicos24,25,26, lo que llevó al descubrimiento de estados fotónicos QH27,28,29,30,31, estados fotónicos QSH32,33,34,35,36, aisladores topológicos fotónicos37, 38,39 y semimetales topológicos fotónicos40,41,42,43,44,45,46,47. El aspecto clave para construir una fase topológica es tener un par de Kramers en el sistema, que son estados propios doblemente degenerados bajo simetría TR48. Sin embargo, el teorema de Kramers suele ser válido para un sistema invariante TR de espín 1/210 y no puede aplicarse fácilmente al sistema fotónico de espín 149,50, a menos que se haya impuesto una simetría adicional. Sin embargo, los fotones tienen propiedades de espín como resultado de la polarización circular51. Una cantidad similar a un espín llamada pseudoespín puede formarse mediante la combinación lineal de campos eléctricos y magnéticos cuando se satisface una condición degenerada específica entre los parámetros eléctricos y magnéticos32. Como resultado, el sistema fotónico puede describirse mediante un hamiltoniano efectivo que consta de dos subsistemas para los estados de pseudoespín32,33,34, y el par de Kramers puede formarse en el sistema fotónico. En presencia de quiralidad o bianisotropía que emula el acoplamiento espín-órbita, se puede construir una fase topológica en el sistema fotónico52,53,54,55,56.

En el presente estudio, investigamos las fases topológicas fotónicas en metamateriales quirales caracterizados por tensores magnetoeléctricos con componentes quirales diagonales. Los modos volumétricos del medio subyacente se representan mediante dos ecuaciones cuadráticas desacopladas cuando se incluye una cierta simetría de los parámetros del material. Cuando se cumple la condición degenerada de 'espín'32,34,38, los modos masivos se presentan con un cono de Weyl y una superficie cilíndrica en el espacio vectorial de onda de frecuencia. La dualidad electromagnética permite que las ecuaciones de Maxwell se desacoplen en dos subsistemas para los modos híbridos, que se definen como combinaciones lineales de campos eléctricos y magnéticos. Al introducir los estados de pseudoespín como base para los modos híbridos, el sistema fotónico puede describirse mediante un par de hamiltonianos de órbita de espín de espín 153,54,55,56,57,58,59 que respetan el pseudo TR de tipo fermiónico. simetría. Las propiedades topológicas del sistema fotónico están determinadas por números de Chern de espín distintos de cero calculados a partir de los campos propios de los hamiltonianos. Los modos de superficie en la interfaz entre el vacío y el metamaterial quiral existen en su espacio común en el espacio vectorial de onda, que se formulan analíticamente mediante ecuaciones algebraicas. En particular, los modos superficiales están representados por un par de láminas superficiales en espiral que se envuelven alrededor del cono de Weyl, asemejándose a los estados superficiales tipo helicoidal que ocurren en los semimetales topológicos23. En la frecuencia de Weyl, los modos de superficie contienen dos estados similares a arcos de Fermi que se concatenan para producir un segmento de línea recta.

Considere un medio bianisotrópico general caracterizado por las relaciones constitutivas:

donde \(\underline{\varepsilon }\), \(\underline{\mu }\), \(\underline{\xi }\) y \(\underline{\zeta }\) son los relativos dependientes de la frecuencia permitividad, permeabilidad y tensores magnetoeléctricos, respectivamente. Tratando el campo eléctrico combinado \(\textbf{E}=\left( E_x,E_y,E_z\right) ^T\) y el campo magnético \(\textbf{H}=\left( H_x,H_y,H_z\right) ^T\) como un vector de seis componentes, donde T denota la transpuesta, las ecuaciones de Maxwell para los campos electromagnéticos armónicos en el tiempo (con la convención de tiempo \({e^{-i\omega t} }\)) se escriben en forma matricial como

donde \(\underline{I}\) es la matriz identidad 3 \(\times \) 3 y \(\textbf{H}'=\eta _0\textbf{H}\), con \({\eta _0 } = \sqrt{{\mu _0}/{\varepsilon _0}}\). Deje que el medio no tenga pérdidas (\(\underline{\varepsilon }=\underline{\varepsilon }^\dagger \), \(\underline{\mu }=\underline{\mu }^\dagger \), y \ (\underline{\xi }=\underline{\zeta }^\dagger \), donde \(\dagger \) denota el conjugado hermitiano) y recíproco (\(\underline{\varepsilon }=\underline{\varepsilon } ^T\), \(\underline{\mu }=\underline{\mu }^T\), y \(\underline{\xi }=-\underline{\zeta }^T\), donde T denota la transpuesta)60, lo que implica que \(\underline{\varepsilon }=\underline{\varepsilon }^*\), \(\underline{\mu }=\underline{\mu }^*\), \( \underline{\xi }=-\underline{\xi }^*\), y \(\underline{\zeta }=-\underline{\zeta }^*\), donde \(*\) denota el complejo conjugado. En el presente estudio, asumimos además que la permitividad, la permeabilidad y los tensores magnetoeléctricos son uniaxiales: \(\underline{\varepsilon }=\mathrm{{diag}}\left( {{\varepsilon _t},{\varepsilon _t },{\varepsilon _z}}\right) \), \(\underline{\mu }=\mathrm{{diag}}\left( {{\mu _t},{\mu _t},{\mu _z }}\right) \), y \(\underline{\xi }=- {\underline{\zeta }}=\mathrm{{diag}}\left( {i{\gamma _t},i{\gamma _t},i{\gamma _z}}\right) \), donde \(\varepsilon _n\), \(\mu _n\), y \(\gamma _n\) \((n=t,z) \) son cantidades con valores reales, y \(\textrm{diag}\left( \varvec{\cdot },\varvec{\cdot },\varvec{\cdot }\right) \) denota un 3 \(\ veces \) matriz diagonal 3. El medio con tensores magnetoeléctricos puramente imaginarios se conoce como medio quiral. Aquí, el parámetro de quiralidad \(\gamma _n\) (\(n=t,z\)) aparece en los elementos diagonales de los tensores magnetoeléctricos \(\underline{\xi }\) y \(\underline{\zeta }\), lo que significa que los acoplamientos magnetoeléctricos del medio quiral ocurren en direcciones paralelas. El medio subyacente puede sintetizarse mediante hélices metálicas orientadas a lo largo de tres direcciones perpendiculares61. En el medio quiral, la simetría de inversión se rompe debido a la quiralidad44,62, mientras que la simetría TR se conserva24.

La existencia de una solución no trivial de \(\textbf{E}\) y \(\textbf{H}\) requiere que el determinante de la matriz 6 \(\times \) 6 en la ecuación. (3) ser cero, dando lugar a la ecuación característica de los modos masivos como

donde \({k_0} = \omega /c\). Esta es una ecuación bicuadrática que incorpora el acoplamiento entre los modos eléctrico transversal y magnético transversal. Si \(\eta _t=\eta _z\), es decir, \(\sqrt{\mu _t/\varepsilon _t}=\sqrt{\mu _z/\varepsilon _z}\), la ecuación. (4) se puede desacoplar como producto de dos ecuaciones cuadráticas como

donde \(k_t^2 = k_x^2 + k_y^2\), \(n_t^ \pm = \sqrt{{\varepsilon _t}{\mu _t}} \pm |{\gamma _t}|\), y \(n_z^ \pm = \sqrt{{\varepsilon_z}{\mu_z}} \pm |{\gamma_z}|\). En el caso isotrópico, donde \(\varepsilon _t=\varepsilon _z\equiv \varepsilon \), \(\mu _t=\mu _z\equiv \mu \), y \(\gamma _t=\gamma _z\equiv \gamma\), Ec. (5) se puede simplificar a

donde \({n_ \pm } = \sqrt{\varepsilon \mu } \pm |\gamma |\). Existe una condición crítica: \(|\gamma |=\sqrt{\varepsilon \mu }\), donde \(n_-=0\) y el modo masivo correspondiente se reducen a un punto. En el caso \(\gamma =0\), la ecuación. (6) se simplifica aún más a

Tenga en cuenta que las características de los modos masivos pueden cambiar con la frecuencia de un medio dispersivo (generalmente el caso de los metamateriales), dependiendo de la elección del rango de frecuencia. En la vecindad de una frecuencia de referencia \(\omega _\text {ref}\), \({\varepsilon _n}\) (\(n=t,z\)) se puede aproximar como \({\varepsilon _n } \approx {\varepsilon _{n0}} + {\left. {\frac{{d{\varepsilon _n}}}{{d\omega }}} \right| _{\omega = {\omega _\ text {ref}}}}\left( {\omega - {\omega _\text {ref}}} \right) \equiv {\varepsilon _{n0}} + {\tilde{\varepsilon }_n}\delta \omega /{\omega _\text {ref}}\), donde \({\tilde{\varepsilon }}_n\) es definido positivo57. Una relación similar es válida para \(\mu _n\) (\(n=t,z\)). Además, asumimos que el parámetro de quiralidad \(\gamma \) varía suavemente alrededor de \(\omega _{\textrm{ref}}\) y puede tratarse como una constante en el análisis32,53,58.

Hamiltonianos de órbita de giro La dualidad electromagnética de las ecuaciones de Maxwell dicta que la matriz en la ecuación. (3) mantiene un patrón simétrico cuando se satisface la condición degenerada de 'giro' \(\underline{\varepsilon }=\underline{\mu }\)32,34,38. Esto nos permite reescribir la Ec. (3) como

donde \({{\mathscr{H}_0^\pm }} = \mp {\omega }\underline{\varepsilon } + i \left( {c\textbf{k}} \times \underline{I}+ \omega \underline{\xi }\right) \) y \(\textbf{F}^\pm ={\mathbf{{E}} \pm i \mathbf{{H'}}}\) son el híbrido Modos que combinan linealmente los campos eléctrico y magnético. Tenga en cuenta que \(\textbf{F}^+\) y \(\textbf{F}^-\) están completamente desacoplados y determinados por dos subsistemas (\(3\times 3\) matrices) con una forma similar. Introduciendo los estados de pseudogiro \({\psi _ \pm } = {U^{ - 1}}{\tilde{\psi }_ \pm }\) como base para los modos híbridos, donde \( \tilde{ \psi _ \pm } = {\left( - {\frac{{ {F_x^\pm } \mp i{F_y^\pm }}}{{\sqrt{2} }},{F_z},\frac {{{F_x^\pm } \pm i{F_y^\pm }}}{{\sqrt{2} }}} \right) ^T}\) y \(U = \mathrm{{diag}}\ izquierda( {\sqrt{{{\tilde{\varepsilon }}_z}/{{\tilde{\varepsilon }}_t}} ,1,\sqrt{{{\tilde{\varepsilon }}_z}/{{ \tilde{\varepsilon }}_t}} } \right) \), Ec. (8) se puede formular como un par de sistemas propios cuando se tiene en cuenta la dispersión de frecuencia del medio cerca de la frecuencia de referencia \(\omega _\text {ref}\). En el caso isotrópico, donde \({\varepsilon _{t0}} = {\varepsilon _{z0}} \equiv \varepsilon \) y \({\tilde{\varepsilon }_t} = {\tilde{\varepsilon }_z} \equiv \tilde{\varepsilon }\), los sistemas propios de la ecuación. (8) están dados por (ver Métodos A)

dónde

y \(\mathscr{D}_\pm = \pm {\omega _{\textrm{ref}}} \left( {\varepsilon \pm \gamma /\tilde{\varepsilon }}\right) \). Aquí, \(v=c/{{\tilde{\varepsilon }}}\), \(\mathbf{{k}}=k_x\hat{x}+k_y\hat{y}+k_z\hat{z }\), \(\mathbf{{S}} = {S_x}\hat{x} + {S_y}\hat{y} + {S_z}\hat{z}\), con \(S_n\) ( siendo \(n=x,y,z\)) las matrices de espín del espín 1. Tenga en cuenta que la ecuación. (9) se expresa como un sistema propio siendo \(\pm \delta \omega \) el valor propio. El hamiltoniano \(\mathscr{H}_\pm \) en la ecuación. (10) representa el acoplamiento espín-órbita \(\mathbf{{k}}\cdot \mathbf{{S}}\) del espín 1, que es matemáticamente equivalente al hamiltoniano de un momento dipolar magnético en el campo magnético57.

Invariantes topológicas Las propiedades topológicas de los hamiltonianos de órbita de espín \(\mathscr{H}_\pm \) se pueden caracterizar mediante las invariantes topológicas basadas en los campos propios. Para ello calculamos el flujo de Berry sobre una superficie cerrada en el espacio vectorial de onda. El sistema propio del hamiltoniano \(\mathscr{H}_\pm \) en la ecuación. (10):

se resuelve para dar los valores propios \(\lambda _ \pm ^\sigma \) y los vectores propios \(\psi _ \pm ^\sigma \) (\(\sigma =\pm 1, 0\)). Aquí, el valor propio \(\lambda _ \pm ^\sigma \) está relacionado con \(\delta \omega \) en la ecuación. (9) como \(\lambda _ \pm ^\sigma = \mathscr{D}_\pm \pm \delta \omega \). Basado en la ecuación. (11), se calcula que los números de Chern dan (ver Métodos B)

El \(C_\sigma \) (\(\sigma =\pm 1\)) distinto de cero caracteriza las propiedades topológicas del sistema, donde \(\sigma \) se refiere a la helicidad (o lateralidad) de los estados de pseudogiro. En particular, los estados de borde o superficie en la interfaz entre dos fases topológicas distintas están topológicamente protegidos, lo que significa que su existencia está garantizada por la diferencia en la topología de banda en dos lados de la interfaz. En este sistema, el número total de Chern \(C=\sum \limits _\sigma {{C_\sigma }}=0\) y el número de giro de Chern \(C_{\textrm{spin}}=\sum \limits _\sigma {{\sigma C_\sigma }}=4\), que son consistentes con el efecto Hall de espín cuántico de la luz51. Las invariantes topológicas permanecen constantes bajo deformaciones continuas arbitrarias del sistema. Las propiedades topológicas en el caso isotrópico se conservarán cuando se incluya una cierta anisotropía en el sistema. Para un caso anisotrópico más general, el cálculo exacto de las invariantes topológicas se puede obtener mediante la integración numérica de las curvaturas de Berry63.

El hamiltoniano para las ecuaciones de Maxwell [cf. Ec. (3)] ​​en el medio quiral, que no tiene pérdidas y es recíproco, es TR invariante bajo \(T_b\), es decir,

dónde

\({T_b} = {\sigma _z}K\) (con \(T_b^2=1\)) es el operador bosónico TR para fotones24, siendo K la conjugación compleja, y \(\otimes \) denota el producto tensorial. El hamiltoniano \(\mathscr{H}_m\), sin embargo, no es invariante TR bajo \(T_f\), es decir, \(\left( {T_f \otimes I}\right) {\mathscr{H}_m \left( \textbf{k} \right) }\left( {T_f \otimes I}\right) ^{ - 1} \ne {\mathscr{H}_m\left( -\textbf{k} \right) }\), donde \({T_f} = {i\sigma _y}K\) (con \(T_f^2=-1\)) es el operador fermiónico TR para electrones24. Sin embargo, el hamiltoniano combinado formado por dos hamiltonianos de órbita de espín \(\mathscr H_\pm \) [cf. Ec. (10)] es invariante TR bajo \(T_p\), es decir,

dónde

y \({T_p}\) es el pseudo operador TR de tipo fermiónico que tiene la misma forma de \(T_f\). El pseudo operador TR \(T_p\) se inspira al notar que \(\mathbf{{E}} \leftrightarrow \mathbf{{H}}\) durante la operación TR, que se define como \({T_p} = { T_b}{\sigma _x} = {\sigma _z}K{\sigma _x} = i{\sigma _y}K\) con \(T_p^2=-1\)34. Aquí, \(\sigma _x=\left( 0,1;1,0\right) \), \(\sigma _y=\left( 0,-i;i,0\right) \), y \( \sigma _z=\textrm{diag}\left( 1,-1\right) \) son las matrices de Pauli. La pseudo simetría TR del hamiltoniano combinado \(\mathscr{H}_c\) es crucial para construir el par de Kramers y determinar las fases topológicas en sistemas fotónicos de espín 1, permitiendo la existencia de estados de borde helicoidales contrapropagantes polarizados por espín como en sistemas electrónicos.

La transición de fase topológica ocurre entre dos fases topológicas distintas. En el presente estudio, la transición de fase topológica se manifiesta en la existencia de modos superficiales en la interfaz entre el vacío y el metamaterial quiral. Aquí comenzamos con la combinación lineal de campos propios basada en las ecuaciones de Maxwell, dejando los coeficientes de ponderación como variables desconocidas. Aplicando la condición de frontera en la interfaz, se puede llegar a una condición exigiendo que estos coeficientes no sean triviales, lo que da lugar a la ecuación característica de los modos de superficie.

Sea el plano xz una interfaz entre el vacío (\(y>0\)) y el medio quiral (\(y<0\)) caracterizado por \(\varepsilon _n=\varepsilon \), \(\mu _n= \mu \), y \(\gamma _n=\gamma \) (\(n=t,z\)), donde pueden existir los modos de superficie. De acuerdo con las condiciones de contorno de Maxwell: la continuidad de los componentes tangenciales del campo eléctrico y magnético en la interfaz, la ecuación característica de los modos superficiales se puede formular analíticamente utilizando los campos propios de los modos masivos en dos lados de la interfaz, dados por (ver Métodos C)

donde \({n _ \pm } = \sqrt{\varepsilon \mu } \pm \gamma \), \(k_y^{(0)} = \sqrt{k_0^2 - k_x^2 - k_z^2} \) es el componente del vector de onda normal (a la interfaz) en el vacío, \(k_y^{(1)} = - \sqrt{n _ + ^2k_0^2 - k_x^2 - k_z^2}\) y \ (k_y^{(2)} = - \sqrt{n _ - ^2k_0^2 - k_x^2 - k_z^2}\) son los componentes del vector de onda normal en el medio quiral, y los superíndices (1) y ( 2) se refieren a dos polarizaciones independientes.

Superficies de equifrecuencia de los modos masivos en el espacio vectorial de onda para el metamaterial quiral con (a) \(\varepsilon _t=\mu _t=1.2\), \(\varepsilon _z=\mu _z=1\), \(\ gamma _t=\pm 0.8\), y \(\gamma _z=\pm 0.2\) (b) \(\varepsilon _t=\mu _t=0.8\), \(\varepsilon _z=\mu _z=0.2\ ), \(\gamma _t=\pm 1.2\), y \(\gamma _z=\pm 1\). En (a), los contornos negros son modos masivos en \(k_y=0\). En (b), los modos masivos se muestran para el medio espacio con \(k_y>0\).

La Figura 1a muestra las superficies de equifrecuencia de los modos masivos para el metamaterial quiral en el espacio vectorial de onda según la ecuación. (5). En el presente estudio, asumimos que \(n_t^\pm n_z^\pm >0\) de modo que los modos masivos se describen mediante dos ecuaciones elípticas [cf. Ec. (5)]. Esta condición es crucial para formar el sistema fotónico Weyl en el metamaterial quiral, que se discutirá más adelante (ver Resultados: sistema fotónico Weyl). Como resultado, los modos masivos están representados por dos elipsoides concéntricos en el espacio vectorial de onda. Tenga en cuenta que los modos masivos para el signo opuesto del parámetro de quiralidad son idénticos debido a la simetría alrededor de \(\gamma \) [cf. Ec. (5)]. Aquí, los parámetros del material están organizados de manera que \(n_t^+n_z^+>1\), \(\left( n_t^+\right) ^2>1\) y \(n_t^-n_z^-<1 \), \(\left( n_t^-\right) ^2<1\). Por lo tanto, los modos masivos están completamente dentro o completamente fuera del esferoide de dispersión de vacío: \(k_x^2+k_y^2+k_z^2=k_0^2\), como se muestra en la Fig. 1(b) para los modos masivos en el medio espacio (\(k_y>0\)). Tenga en cuenta también que los modos masivos en la Fig. 1a, b están representados por los mismos elipsoides, aunque \(n_s^->0\) (\(s=t,z\)) para el primero y \(n_s^-< 0\) para este último. Sin embargo, las propagaciones de las ondas en ambos casos son diferentes en el aspecto de la refracción negativa y la onda inversa64,65. En el caso isotrópico, el modo masivo interno en la condición crítica: \(|\gamma |=\sqrt{\varepsilon \mu }\) (cf. Resultados: Modos masivos.) se reduce a un punto en el origen.

Recuerde que el hamiltoniano efectivo en el presente problema consta de dos subsistemas de modos híbridos. Cada subsistema se describe mediante el hamiltoniano de órbita de giro con giro 1 (ver Resultados: Hamiltonianos de órbita de giro) y se caracteriza por invariantes topológicos distintos de cero (ver Resultados: Invariantes topológicos). En este sentido, el metamaterial quiral se considera un análogo fotónico de la fase topológica.

Modos de superficie en la interfaz entre dos metamateriales quirales con signo opuesto al parámetro de quiralidad y (a) \(\varepsilon _n=\mu _n=1\) y \(\gamma =\pm 0.5\) (b) \(\ varepsilon _n=\mu _n=0.5\) y \(\gamma =\pm 1\) (\(n=t,z\)).

La Figura 2 muestra los modos de superficie en la interfaz entre el vacío (\(y>0\)) y el metamaterial quiral (\(y<0\)) en el plano \(k_x\)–\(k_z\) basado en la ecuación . (17). Los modos masivos en \(k_y=0\) se superponen en los mismos gráficos. Para mayor claridad, analizamos los modos de superficie en el caso isotrópico, donde \(\varepsilon _n=\varepsilon \) y \(\mu _n=\mu \) (\(n=t,z\)), y el modo analítico Hay formulaciones disponibles para los modos de superficie. En particular, los modos de superficie están representados por un par de segmentos de curva simétricos con respecto al centro, que están ubicados en el segundo y cuarto cuadrante para \(\gamma <\sqrt{\varepsilon \mu }\) [cf. Fig. 2a], y el primer y tercer cuadrante para \(\gamma >\sqrt{\varepsilon \mu }\) [cf. Figura 2b]. Tenga en cuenta que los modos de superficie y los modos masivos se 'fusionan' en los puntos: \(\left( k_x,{k_z}\right) =\left( \pm |\sqrt{\varepsilon \mu }-\gamma | k_0,0 \right) \) para el metamaterial quiral y \(\left( 0,\pm k_0\right) \) para el vacío.

Los modos masivos para el signo opuesto del parámetro de quiralidad son idénticos debido a la simetría alrededor de \(\gamma \) [cf. Ec. (4) o (5)]. Los modos de superficie están ubicados en la brecha común de los modos masivos en el espacio vectorial de onda y son tangentes a los modos masivos18,22, incluido el metamaterial quiral (contorno sólido negro) y el círculo de dispersión de vacío: \(k_x^2+k_z^2= k_0^2\) (contorno discontinuo gris). Esta característica se deriva del hecho de que los modos de superficie deben convertirse sin problemas en modos masivos a medida que se acercan a sus puntos terminales66. La profundidad evanescente del modo de superficie crece hasta el punto donde el modo de superficie se fusiona con el modo de masa22. Los modos masivos en el lado del vacío son topológicamente triviales, mientras que en el lado del medio quiral son topológicamente no triviales con invariantes topológicos distintos de cero (cf. Resultados: Invariantes topológicos). Los modos de superficie corresponden a la transición de fase topológica entre dos fases topológicas distintas en el espacio de momento53,67, estando garantizada su existencia por la correspondencia de borde masivo. En particular, el hamiltoniano del sistema fotónico respeta la pseudo simetría TR (cf. Resultados: Pseudo simetría de inversión de tiempo), lo que lleva a la protección topológica de los estados fotónicos de borde o superficie.

(a) Modos masivos y (b) modos superficiales en el espacio vectorial de onda de frecuencia para el metamaterial quiral con \(\varepsilon _{\infty }=4\), \(\mu _{\infty }=3\) , \(\Omega _\mu =0.522\), \(\Omega _\gamma =0.723\), y \(\omega _0/\omega _p=0.8\). Los componentes del vector de onda están escalados por \(k_p=\omega _p/c\). En (a), el cilindro blanco transparente es la superficie de dispersión del vacío. En (b), los modos masivos a frecuencias constantes para \(k_y=0\) están delineados en una malla gris. El punto rojo es el punto Weyl. La línea negra es el arco de Fermi.

Deje que la dependencia de la frecuencia del medio quiral se caracterice mediante los modelos de dispersión de Lorentz: \(\varepsilon = \varepsilon _\infty - \omega _p^2/\left( \omega ^2 - \omega _0^2 \right) \ ) y \(\mu = \mu _\infty - \Omega _\mu \omega ^2/\left( \omega ^2-\omega _0^2\right) \), que generalmente se emplean en el estudio de metamateriales68. Aquí, \(\omega _p\) es la frecuencia del plasma y \(\omega _0\) es la frecuencia de resonancia. El parámetro de quiralidad viene dado por \(\gamma = \Omega _\gamma \omega \omega _{p}/\left( \omega ^2 - \omega _0^2 \right) \), donde \(\Omega _ \gamma ^2=\Omega _\mu \)69,70. Este modelo garantiza que la densidad de energía en el medio subyacente es positiva definida (ver Métodos D).

La Figura 3a muestra la dispersión de los modos masivos para el metamaterial quiral en el espacio vectorial de onda de frecuencia. Los modos masivos consisten en una superficie cónica en el centro de una superficie cilíndrica. En la configuración actual, los parámetros del material están organizados de manera que \(\varepsilon =\mu =\gamma =\frac{{{\varepsilon _\infty }{\mu _\infty }}}{{{\varepsilon _\ infty } + {\mu _\infty }}}\) en la frecuencia \(\omega _1= \sqrt{\omega _0^2 + \left( {{\varepsilon _\infty } + {\mu _\infty }} \right) \omega _p^2/\varepsilon _\infty ^2}\), donde los modos masivos internos se reducen a un punto en \(\left( k_t,k_z,\omega \right) =(0 ,0,\omega _1)\). Esta es la condición que cumple tanto la condición degenerada de 'giro': \(\varepsilon =\mu \) (cf. Resultados: Hamiltonianos de órbita de giro.) como la condición crítica: \(|\gamma |=\sqrt{ \varepsilon \mu }\) (cf. Resultados: modos masivos.) en el medio actual, que también forma la degeneración puntual en los modos masivos. Aquí, \(\omega _1\) es la frecuencia de transición entre los modos masivos con \(n_->0\) y \(n_-<0\) (cf. Resultados: modos masivos), y los modos masivos para ya sea \(\omega >\omega _1\) o \(\omega <\omega _1\) están representados por curvas elípticas similares. El primero y el segundo se tocan en un punto degenerado, formando la superficie cónica para el modo masivo interno con \(n_-\), mientras que el modo masivo externo con \(n_+\) (siempre positivo) es una superficie cilíndrica. En esta situación, la rama de dispersión de los modos masivos internos se asemeja al cruce lineal de las bandas de valencia y conducción en el semimetal de Weyl71, con el punto de cruce conocido como punto de Weyl y la frecuencia asociada \(\omega _1\) como frecuencia de Weyl. . La carga topológica asociada con el punto de Weyl es consistente con los invariantes topológicos distintos de cero del sistema (cf. Resultados: Invariantes topológicos). Tenga en cuenta que el modo de volumen interno se reduce a un solo punto en la frecuencia de Weyl. En este sentido, el medio subyacente se considera un análogo fotónico del semimetal Weyl tipo I22.

Tenga en cuenta que en ausencia de quiralidad (\(\gamma =0\)), los modos masivos se presentan con el cono de Dirac con una degeneración cuádruple en el punto de Dirac: \((k_x,k_y,\omega )=(0,0 ,\omega _1)\) en el espacio vectorial de onda [cf. Ec. (7)]. En presencia de quiralidad (\(\gamma \ne 0\)), la simetría de inversión se rompe (cf. Resultados: modos masivos) y se elimina la degeneración cuádruple. Como resultado, los modos masivos se caracterizan por un cono de Weyl con doble degeneración en el punto de Weyl, junto con una superficie cilíndrica [cf. Ec. (6)]. La carga topológica que lleva el punto de Weyl es consistente con los invariantes topológicos \(C_\pm =\pm 2\) distintos de cero del sistema actual (cf. Resultados: Invariantes topológicos). Aquí, la carga topológica \(\pm 2\) está asociada con el punto de Weyl spin-1 no convencional con una degeneración lineal triple46,72,73,74. La quiralidad neta desaparece en el semimetal de Weyl, lo que coincide con el hecho de que el número total de Chern es cero (cf. Resultados: Invariantes topológicos). Tenga en cuenta también que solo hay un punto Weyl en el sistema, que es similar al caso del metamaterial quiral con simetría rotacional \(C_3\). La característica del punto Weyl único se puede observar en un estudio experimental reciente, donde el punto Weyl está rodeado por paredes nodales cargadas75. Sin embargo, pueden existir dos42,53 o cuatro44,55 puntos Weyl, dependiendo de las relaciones constitutivas de los metamateriales. Se pueden encontrar varios puntos de Weyl diferentes en cristales fotónicos giroides40 y cristales fonónicos no simorfos74. Muy recientemente, se proponen sistemas topológicos de dimensiones superiores y se espera que posean propiedades que sus homólogos de dimensiones inferiores no admiten, como las superficies de Weyl y los arcos de Weyl76,77.

La Figura 3b muestra la dispersión de los modos de superficie en la interfaz entre el vacío y el metamaterial quiral en el espacio vectorial de onda de frecuencia. A modo de comparación, los modos masivos a frecuencias constantes para \(k_y=0\) están delineados en una malla gris y superpuestos en el mismo gráfico. A diferencia de los modos de superficie en aisladores topológicos que existen en la banda prohibida de frecuencia (energía), los modos de superficie en semimetales topológicos sin espacios se definen en la región libre de modos masivos a la misma frecuencia (energía)22. Debido a la dependencia de la frecuencia de los parámetros del material, se muestra que la dispersión de los modos de superficie está curvada. En particular, los modos de superficie forman un par de láminas de superficie en espiral que se envuelven alrededor del cono de Weyl. Esta característica es similar, aunque no idéntica, a los estados de borde helicoidal que ocurren en los semimetales topológicos23,44,72,78. También se han observado características similares de estados de borde tipo helicoidal en metamateriales quirales46.

Observe que los modos de superficie se mueven al otro lado del eje \(k_z\) a medida que la frecuencia cruza la frecuencia de Weyl \(\omega _1\), donde la dispersión de las láminas de superficie experimenta una transición suave. En la frecuencia de Weyl, el estado de borde que conecta el punto de Weyl forma el llamado arco de Fermi. El modo de superficie en la frecuencia de Weyl se considera el estado de borde similar a un arco de Fermi. En la configuración actual, las dos láminas de superficie en espiral entran en contacto en el punto de Weyl y dos estados de borde asociados en forma de arco de Fermi se concatenan para producir un segmento de línea recta.

En conclusión, hemos investigado las fases topológicas fotónicas en metamateriales quirales caracterizados por tensores magnetoeléctricos con componentes quirales diagonales. El medio subyacente se considera un análogo fotónico del semimetal topológico que presenta un cono de Weyl y una superficie cilíndrica en el espacio vectorial de ondas de frecuencia. Los modos de superficie en la interfaz entre el vacío y el metamaterial quiral existen en su espacio común en el espacio vectorial de onda, que se formulan analíticamente mediante ecuaciones algebraicas. En particular, los modos superficiales forman un par de láminas superficiales en espiral que se envuelven alrededor del cono de Weyl, asemejándose a los estados superficiales helicoidales que ocurren en los semimetales topológicos.

La ecuación de onda para los modos híbridos \(\mathbf{F^\pm}={\mathbf{{E}}\pm en \mathbf{{H'}}}\) en la ecuación. (3) se puede reescribir como

dónde

y \( \tilde{\psi _ \pm } = {\left( - {\frac{{ {F_x^\pm } \mp i{F_y^\pm }}}{{\sqrt{2} }}, {F_z},\frac{{{F_x^\pm } \pm i{F_y^\pm }}}{{\sqrt{2} }}} \right) ^T}\) son los estados de pseudogiro que incluyen \ (\pm \pi /2\) diferencia de fase entre los componentes transversales del campo híbrido (respecto al eje óptico del medio)57. En la vecindad de una frecuencia de referencia \(\omega _\text {ref}\), \({\varepsilon _n}\) (\(n=t,z\)) se puede aproximar como \({\varepsilon _n } \approx {\varepsilon _{n0}} + {\left. {\frac{{d{\varepsilon _n}}}{{d\omega }}} \right| _{\omega = {\omega _\ text {ref}}}}\left( {\omega - {\omega _\text {ref}}} \right) \equiv {\varepsilon _{n0}} + {\tilde{\varepsilon }_n}\delta \omega /{\omega _\text {ref}}\), donde \({\tilde{\varepsilon }}_n\) es definido positivo57. Teniendo en cuenta la dispersión de frecuencia del medio cerca de la frecuencia de referencia, la ecuación. (18) se reordena como un par de sistemas propios:

dónde

y \({\psi _ \pm } = {U^{ - 1}}{\tilde{\psi }_ \pm }\) con \(U = \mathrm{{diag}}\left( {\sqrt {{{\tilde{\varepsilon}}_z}/{{\tilde{\varepsilon}}_t}} ,1,\sqrt{{{\tilde{\varepsilon}}_z}/{{\tilde{\varepsilon }}_t}} } \right) \). En el caso isotrópico, donde \({\varepsilon _{t0}} = {\varepsilon _{z0}} \equiv \varepsilon \) y \({\tilde{\varepsilon }_t} = {\tilde{\varepsilon }_z} \equiv \tilde{\varepsilon }\), Ec. (21) se simplifica a

dónde

y \(\mathscr{D}_\pm = \pm {\omega _{\textrm{ref}}}\left( {\object psilon \pm \gamma /\assign{\object psilon }} \right) \ ). Aquí, \(v=c/{{\tilde{\varepsilon}}}\), \(\mathbf{{k}}=k_x\hat{x}+k_y\hat{y}+k_z\hat{z }\), \(\mathbf{{S}} = {S_x}\hat{x} + {S_y}\hat{y} + {S_z}\hat{z}\), con

siendo las matrices de espín del espín 1 y * que denota el conjugado complejo.

En términos de las coordenadas esféricas, el hamiltoniano \(\mathscr{H}_\pm \) [cf. Ec. (25)] se reescribe como

donde \(k_x= |\textbf{k}|\sin \theta \cos \phi \), \(k_y= |\textbf{k}|\sin \theta \sin \phi \), y \({k_z } = |\textbf{k}|\cos \theta \) se han utilizado. Aquí, \(\theta \) y \(\phi \) son los ángulos polar y azimutal, respectivamente, en la superficie S: \(k_x^2 + k_y^2 + k_z^2= |\textbf{k}| ^2\). El sistema propio del hamiltoniano \(\mathscr{H}_\pm \):

se resuelve para dar los valores propios \(\lambda _ \pm ^\sigma = \sigma v |\textbf{k}|\) (\(\sigma =\pm 1, 0\)) y los vectores propios normalizados como

Tenga en cuenta aquí que el valor propio \(\lambda _ \pm ^\sigma \) está relacionado con \(\delta \omega \) en la ecuación. (24) como \(\lambda _ \pm ^\sigma = \mathscr{D}_\pm \pm \delta \omega \). Basado en las ecuaciones. (29) y (30), las conexiones de Berry \(\textbf{A}_\pm ^\sigma =-i\left\langle {{\psi _\pm ^ \sigma }} \right. \left| { \nabla {\psi _\pm ^ \sigma }} \right\rangle \) se obtienen como

Las curvaturas de Berry \(\textbf{F}_\sigma =\nabla \times \textbf{A}_\pm ^\sigma \) están dadas por

Integrando sobre la esfera S, los números de Chern \({C_\sigma } = \frac{1}{2\pi }\int _S {\textbf{F}_\sigma \cdot d\mathbf{{s}}} \) se calculan para dar

Según las ecuaciones de Maxwell, los campos propios a cada lado de la interfaz (\(y=0\)) están dados por las soluciones no triviales de \(\textbf{E}\) y \(\textbf{H}\) [cf . Ec. (3)] ​​o el espacio nulo de \(\mathscr{H}_m\) [cf. Ec. (14)]. En el lado del vacío (digamos, \(y>0\)), tenemos

donde \(k_y^{(0)} = \sqrt{k_0^2 - k_x^2-k_z^2}\) es el componente del vector de onda normal (a la interfaz) en el vacío. En el lado del medio quiral (\(y<0\)), los campos propios vienen dados por

donde \({n _ \pm } = \sqrt{\varepsilon \mu } \pm \gamma \), y \(k_y^{(1)} = - \sqrt{n _ + ^2k_0^2 - k_x^ 2 - k_z^2}\), \(k_y^{(2)} = - \sqrt{n _ - ^2k_0^2 - k_x^2 - k_z^2}\) son los componentes del vector de onda normal en el quiral medio. Tenga en cuenta que los campos propios en las Ecs. (35)–(38) comparten los componentes comunes del vector de onda tangencial \(k_x\) y \(k_z\) a través de la interfaz, como consecuencia directa de la coincidencia de fases de los campos electromagnéticos. Para que existan ondas superficiales en el lado del vacío (\(y>0)\), \(k_y^{(0)}\) deben ser puramente imaginarias con un valor positivo, de modo que las ondas decaigan exponencialmente alejándose de la interfaz. . En el lado del medio quiral (\(y<0\)), \(k_y^{(1)}\) y \(k_y^{(2)}\) deben ser puramente imaginarios con un valor negativo por una razón similar .

Los componentes tangenciales del campo eléctrico y magnético son continuos en la interfaz:

donde \(n=x,z\) y \(C_1\), \(C_2\), \(C_3\), \(C_4\) son constantes. La existencia de una solución no trivial de estas constantes requiere que el determinante de la matriz 4 \(\times \) 4 obtenida de las Ecs. (39) y (40) sean cero, lo que da la ecuación característica de los modos de superficie como

La densidad de energía promediada en el tiempo en un medio sin pérdidas viene dada por79

dónde

y \(V=\left( \varepsilon _0 E_x,\varepsilon _0 E_y,\varepsilon _0 E_z,\mu _0 H_x,\mu _0 H_y,\mu _0 H_z \right) ^T\), con \({V ^\dag }\) siendo el conjugado hermitiano de V. La densidad de energía debe ser definida positiva, lo que implica que tanto la traza como el determinante de M son positivos:

Según el modelo de dispersión de Lorentz para el medio actual (cf. Resultados: sistema fotónico Weyl), estas cantidades se convierten en

y

ambos son positivos en el presente estudio.

Todos los datos generados o analizados durante este estudio se incluyen en este artículo publicado.

Klitzing, KV, Dorda, G. & Pepper, M. Nuevo método para la determinación de alta precisión de la constante de estructura fina basado en la resistencia Hall cuantificada. Física. Rev. Lett. 45, 494–497 (1980).

ADS del artículo Google Scholar

Kane, CL & Mele, EJ Orden topológico Z2 y efecto Hall del espín cuántico. Física. Rev. Lett. 95, 146802 (2005).

Artículo ADS CAS PubMed Google Scholar

Bernevig, BA y Zhang, S.-C. Efecto Hall del espín cuántico. Física. Rev. Lett. 96, 106802 (2006).

Artículo ADS PubMed Google Scholar

Bernevig, BA, Hughes, TL y Zhang, S.-C. Efecto Hall de espín cuántico y transición de fase topológica en pozos cuánticos de HgTe. Ciencia 314, 1757 (2006).

Artículo ADS CAS PubMed Google Scholar

Thouless, DJ, Kohmoto, M., Nightingale, MP y den Nijs, M. Conductancia de Hall cuantificada en un potencial periódico bidimensional. Física. Rev. Lett. 49, 405–408 (1982).

Artículo ADS CAS Google Scholar

Sheng, DN, Weng, ZY, Sheng, L. & Haldane, FDM Efecto Hall de giro cuántico y números de Chern topológicamente invariantes. Física. Rev. Lett. 97, 036808 (2006).

Artículo ADS CAS PubMed Google Scholar

Hasan, MZ & Kane, CL Coloquio: aisladores topológicos. Mod. Rev. Física. 82, 3045–3067 (2010).

Artículo ADS CAS Google Scholar

Qi, X.-L. y Zhang, S.-C. Aisladores topológicos y superconductores. Mod. Rev. Física. 83, 1057-1110 (2011).

Artículo ADS CAS Google Scholar

Bliokh, KY y Nori, F. Espín transversal de un polaritón de superficie. Física. Rev. P. A 85, 061801 (2012).

ADS del artículo Google Scholar

Wu, C., Bernevig, BA y Zhang, S.-C. Líquido helicoidal y el borde de los sistemas Hall de espín cuántico. Física. Rev. Lett. 96, 106401 (2006).

Artículo ADS PubMed Google Scholar

Xia, Y. y col. Observación de una clase de aislante topológico de gran espacio con un solo cono de Dirac en la superficie. Nat. Física. 5, 398–402 (2009).

Artículo CAS Google Scholar

Zhang, H. y col. Aisladores topológicos en Bi2Se3, Bi2Te2 con un único cono de Dirac en superficie. Nat. Física. 5, 438–442 (2009).

Artículo CAS Google Scholar

Störmer, HL, Eisenstein, JP, Gossard, AC, Wiegmann, W. & Baldwin, K. Cuantización del efecto Hall en un sistema electrónico tridimensional anisotrópico. Física. Rev. Lett. 56, 85–88 (1986).

Artículo ADS PubMed Google Scholar

Tang, F. y col. Efecto Hall cuántico tridimensional y transición metal-aislante en ZrTe5. Naturaleza 569, 537–541 (2019).

Artículo ADS CAS PubMed Google Scholar

Fu, L., Kane, CL & Mele, EJ Aisladores topológicos en tres dimensiones. Física. Rev. Lett. 98, 106803 (2007).

Artículo ADS PubMed Google Scholar

Roy, R. Fases topológicas y efecto Hall del espín cuántico en tres dimensiones. Física. Rev. B 79, 195322 (2009).

ADS del artículo Google Scholar

Fu, L. Aisladores cristalinos topológicos. Física. Rev. Lett. 106, 106802 (2011).

Artículo ADS PubMed Google Scholar

Wan, X., Turner, AM, Vishwanath, A. y Savrasov, SY Estados topológicos de superficie de semimetal y arco de Fermi en la estructura electrónica de iridatos de pirocloro. Física. Rev. B 83, 205101 (2011).

ADS del artículo Google Scholar

Burkov, AA & Balents, L. Weyl semimetal en un aislante topológico multicapa. Física. Rev. Lett. 107, 127205 (2011).

Artículo ADS CAS PubMed Google Scholar

Xu, S.-Y. et al. Descubrimiento de un semimetal de fermión de Weyl y arcos topológicos de Fermi. Ciencia 349, 613–617 (2015).

Artículo ADS CAS PubMed Google Scholar

Burkov, AA Semimetales topológicos. Nat. Madre. 15, 1145-1148 (2016).

Artículo ADS CAS PubMed Google Scholar

Armitage, NP, Mele, EJ & Vishwanath, A. Weyl y Dirac semimetales en sólidos tridimensionales. Mod. Rev. Física. 90, 015001 (2018).

Artículo ADS MathSciNet CAS Google Scholar

Fang, C., Lu, L., Liu, J. & Fu, L. Semimetales topológicos con estados superficiales helicoidales. Nat. Física. 12, 936–941 (2016).

Artículo de Google Scholar

Lu, L., Joannopoulos, JD y Soljačić, M. Fotónica topológica. Nat. Fotón. 8, 821–829 (2014).

Artículo ADS CAS Google Scholar

Ozawa, T. y col. Fotónica topológica. Mod. Rev. Física. 91, 015006 (2019).

Artículo ADS MathSciNet CAS Google Scholar

Kim, M., Jacob, Z. y Rho, J. Avances recientes en fotónica topológica 2D, 3D y de orden superior. Ciencia ligera. Aplica. 9, 130 (2020).

Artículo ADS PubMed PubMed Central Google Scholar

Haldane, FDM y Raghu, S. Posible realización de guías de ondas ópticas direccionales en cristales fotónicos con simetría de inversión de tiempo rota. Física. Rev. Lett. 100, 013904 (2008).

Artículo ADS CAS PubMed Google Scholar

Wang, Z., Chong, Y., Joannopoulos, JD y Soljačić, M. Observación de estados electromagnéticos topológicos inmunes a la retrodispersión unidireccional. Naturaleza 461, 772–775 (2009).

Artículo ADS CAS PubMed Google Scholar

Poo, Y., Wu, R.-X., Lin, Z., Yang, Y. y Chan, CT Realización experimental de estados de borde electromagnéticos unidireccionales autoguiados. Física. Rev. Lett. 106, 093903 (2011).

Artículo ADS PubMed Google Scholar

Jin, D. y col. Magnetoplasmón topológico. Nat. Comunitario. 7, 13486 (2016).

Artículo ADS CAS PubMed PubMed Central Google Scholar

Liu, G.-G. et al. Observación de un punto fotónico de Dirac desapareado. Nat. Comunitario. 11, 1873 (2020).

Artículo ADS CAS PubMed PubMed Central Google Scholar

Khanikaev, AB et al. Aisladores topológicos fotónicos. Nat. Madre. 12, 233–239 (2013).

Artículo ADS CAS PubMed Google Scholar

Wu, L.-H. & Hu, X. Esquema para lograr un cristal fotónico topológico mediante el uso de material dieléctrico. Física. Rev. Lett. 114, 223901 (2015).

Artículo ADS PubMed Google Scholar

Él, C. et al. Aislante topológico fotónico con simetría de inversión de tiempo rota. Proc. Nacional. Acad. Ciencia. Estados Unidos 113, 4924–4928 (2016).

Artículo ADS CAS PubMed PubMed Central Google Scholar

Barik, S. y col. Una interfaz de óptica cuántica topológica. Ciencia 359, 666–668 (2018).

Artículo ADS MathSciNet CAS PubMed MATH Google Scholar

Mittal, S., Orre, VV, Leykam, D., Chong, YD y Hafezi, M. Efecto Hall cuántico fotónico anómalo. Física. Rev. Lett. 123, 043201 (2019).

Artículo ADS CAS PubMed Google Scholar

Lu, L. y col. Cristal fotónico topológico protegido por simetría en tres dimensiones. Nat. Física. 12, 337–340 (2016).

Artículo CAS Google Scholar

Slobozhanyuk, A. et al. Aislante topológico fotónico tridimensional totalmente dieléctrico. Nat. Fotón. 11, 130-136 (2017).

Artículo ADS CAS Google Scholar

Yang, Y. et al. Realización de un aislante topológico fotónico tridimensional. Naturaleza 565, 622–626 (2019).

Artículo ADS CAS PubMed Google Scholar

Lu, L., Fu, L., Joannopoulos, JD & Soljačić, M. Puntos Weyl y nodos lineales en cristales fotónicos giroides. Nat. Fotón. 7, 294–299 (2013).

Artículo ADS CAS Google Scholar

Lu, L. y col. Observación experimental de puntos de Weyl. Ciencia 349, 622 (2015).

Artículo ADS MathSciNet CAS PubMed MATH Google Scholar

Gao, W. y col. Degeneraciones fotónicas de Weyl en plasma magnetizado. Nat. Comunitario. 7, 12435 (2016).

Artículo ADS CAS PubMed PubMed Central Google Scholar

Noh, J. y col. Observación experimental de puntos ópticos de Weyl y estados superficiales similares a arcos de Fermi. Nat. Física. 13, 611 (2017).

Artículo CAS Google Scholar

Yang, B. y col. Puntos de Weyl ideales y estados superficiales helicoidales en estructuras de cristales fotónicos artificiales. Ciencia 359, 1013-1016 (2018).

Artículo ADS MathSciNet CAS PubMed MATH Google Scholar

Wang, D. y col. Puntos fotónicos de Weyl debido a una simetría de inversión de tiempo rota en un semiconductor magnetizado. Nat. Física. 15, 1150-1155 (2019).

Artículo CAS Google Scholar

Yang, Y. et al. Punto de Weyl no convencional ideal en un metamaterial fotónico quiral. Física. Rev. Lett. 125, 143001 (2020).

Artículo ADS CAS PubMed Google Scholar

Xie, L., Jin, L. y Song, Z. Estados de borde antihelicoidal en metales topológicos fotónicos bidimensionales. Ciencia. Toro. 68, 255–258 (2023).

Artículo CAS Google Scholar

Kramers, HA Teoría general de la rotación paramagnética en cristales. Proc. R. Neth. Acad. Artes Ciencias 33 (1930).

Van Mechelen, T. y Jacob, Z. Efecto giroeléctrico cuántico: cuantificación del espín-1 del fotón en fases bosónicas topológicas continuas. Física. Rev. A 98, 023842 (2018).

ADS del artículo Google Scholar

Van Mechelen, T. y Jacob, Z. Monopolos y skyrmions fotónicos de Dirac: cuantificación Spin-1. Optar. Madre. Expreso 9, 95-111 (2019).

ADS del artículo Google Scholar

Bliokh, KY, Smirnova, D. & Nori, F. Efecto Hall de la luz del giro cuántico. Ciencia 348, 1448-1451 (2015).

Artículo ADS MathSciNet CAS PubMed MATH Google Scholar

Gao, W. y col. Fase fotónica topológica en metamateriales hiperbólicos quirales. Física. Rev. Lett. 114, 037402 (2015).

Artículo ADS CAS PubMed Google Scholar

Yu, Y.-Z., Kuo, C.-Y., Chern, R.-L. & Chan, CT Semimetales topológicos fotónicos en metamateriales bianisotrópicos. Ciencia. Rep. 9, 18312 (2019).

Artículo ADS CAS PubMed PubMed Central Google Scholar

Chern, R.-L., Shen, Y.-J. y Yu, Y.-Z. Aisladores topológicos fotónicos en metamateriales bianisotrópicos. Optar. Expreso 30, 9944–9958 (2022).

Artículo ADS PubMed Google Scholar

Chern, R.-L. y Chou, Y.-J. Semimetales fotónicos de Weyl en metamateriales pseudoquirales. Ciencia. Rep. 12, 18847 (2022).

Artículo ADS CAS PubMed PubMed Central Google Scholar

Chern, R.-L. y Chou, Y.-J. Fases topológicas fotónicas en metamateriales de Tellegen. Optar. Expreso 30, 47004–47016 (2022).

Artículo ADS PubMed Google Scholar

Fang, A., Zhang, ZQ, Louie, SG y Chan, CT Túneles de Klein y supercolimación de ondas electromagnéticas pseudospin-1. Física. Rev.B 93, 035422 (2016).

ADS del artículo Google Scholar

Yu, Y.-Z. y Chern, R.-L. Fases topológicas fotónicas en metamateriales dispersivos. Ciencia. Rep. 8, 17881 (2018).

Artículo ADS PubMed PubMed Central Google Scholar

Chern, R.-L. y Yu, Y.-Z. Semimetales topológicos fotónicos en metamateriales bigirotrópicos. Optar. Expreso 30, 25162–25176 (2022).

Artículo ADS PubMed Google Scholar

Serdyukov, A., Semchenko, I., Tretyakov, S. y Sihvola, A. Electromagnético de materiales bianisotrópicos: teoría y aplicaciones (Gordon y Breach, Ámsterdam, 2001).

Google Académico

Asadchy, VS, Díaz-Rubio, A. & Tretyakov, SA Metasuperficies bianisotrópicas: Física y aplicaciones. Nanofotónica 7, 1069–1094 (2018).

Artículo CAS Google Scholar

Mitamura, H. y col. Ferroelectricidad impulsada por quiralidad de espín en un antiferroimán de red triangular perfecto. Física. Rev. Lett. 113, 147202 (2014).

Artículo ADS CAS PubMed Google Scholar

Chern, R.-L. y Yu, Y.-Z. Ondas superficiales quirales en metamateriales hiperbólico-giromagnéticos. Optar. Expreso 25, 11801–11812 (2017).

Artículo ADS CAS PubMed Google Scholar

Chern, R.-L. Propagación de ondas en medios quirales: ecuaciones compuestas de Fresnel. J. Optar. 15, 075702 (2013).

ADS del artículo Google Scholar

Chern, R.-L. y Chang, P.-H. Refracción negativa y onda invertida en medios quirales: ilustraciones de haces gaussianos. J. Aplicación. Física. 113, 153504 (2013).

ADS del artículo Google Scholar

Haldane, F. Unión de los "arcos de Fermi" de la superficie a la superficie de Fermi en masa: "plomería a nivel de Fermi" en metales topológicos. arXiv:1401.0529 (2014).

Gangaraj, SAH y Hanson, GW Efectos topológicos de la no reciprocidad en el espacio de momento. Antenas IEEE inalámbricas. Propaganda. Letón. 17, 1988-1992 (2018).

ADS del artículo Google Scholar

Guo, Q. y col. Puntos fotónicos tridimensionales de Dirac en metamateriales. Física. Rev. Lett. 119, 213901 (2017).

Artículo ADS PubMed Google Scholar

Zhao, R., Koschny, T. y Soukoulis, CM Metamateriales quirales: recuperación de los parámetros efectivos con y sin sustrato. Optar. Expreso 18, 14553–14567 (2010).

Artículo ADS CAS PubMed Google Scholar

Luan, P.-G., Wang, Y.-T., Zhang, S. y Zhang, X. Densidad de energía electromagnética en un metamaterial quiral de resonancia única. Optar. Letón. 36, 675–677 (2011).

Artículo ADS PubMed Google Scholar

Yan, B. y Felser, C. Materiales topológicos: Weyl Semimetals. Año. Rev. Condens. Materia Física. 8, 337–354 (2017).

ADS del artículo Google Scholar

Sánchez, DS et al. Cristales quirales topológicos con estados cuánticos de arco helicoidal. Naturaleza 567, 500–505 (2019).

Artículo ADS CAS PubMed Google Scholar

Rao, Z. y col. Observación de fermiones quirales no convencionales con largos arcos de Fermi en CoSi. Naturaleza 567, 496–499 (2019).

Artículo ADS CAS PubMed Google Scholar

Yang, Y. et al. Punto topológico triplemente degenerado con doble arco de Fermi. Nat. Física. 15, 645–649 (2019).

Artículo CAS Google Scholar

Ma, JZ y cols. Observación de un punto Weyl singular rodeado por paredes nodales cargadas en PtGa. Nat. Comunitario. 12, 3994 (2021).

Artículo ADS CAS PubMed PubMed Central Google Scholar

Ma, S. y col. Superficies de Weyl vinculadas y arcos de Weyl en metamateriales fotónicos. Ciencia 373, 572–576 (2021).

Artículo ADS CAS PubMed Google Scholar

Ma, S., Yang, B. y Zhang, S. Fotónica topológica en metamateriales. Fotón. Perspectivas 1, R02 (2022).

Artículo de Google Scholar

Él, H. et al. Observación de puntos de Weyl cuadráticos y arcos de doble helicoidal. Nat. Comunitario. 11, 1820 (2020).

Artículo ADS CAS PubMed PubMed Central Google Scholar

Landau, LD y cols. Electrodinámica de medios continuos (Butterworth-Heinemann, 1984)

Descargar referencias

Este trabajo fue financiado en parte por el Ministerio de Ciencia y Tecnología de Taiwán (MOST 111-2221-E-002-068-MY3).

Instituto de Mecánica Aplicada, Universidad Nacional de Taiwán, Taipei, 106, Taiwán

Ruey-Lin Chern

También puedes buscar este autor en PubMed Google Scholar.

RLC realizó el trabajo y escribió el manuscrito.

Correspondencia a Ruey-Lin Chern.

Los autores declaran no tener conflictos de intereses.

Springer Nature se mantiene neutral con respecto a reclamos jurisdiccionales en mapas publicados y afiliaciones institucionales.

Acceso Abierto Este artículo está bajo una Licencia Internacional Creative Commons Attribution 4.0, que permite el uso, compartir, adaptación, distribución y reproducción en cualquier medio o formato, siempre y cuando se dé el crédito apropiado al autor(es) original(es) y a la fuente. proporcione un enlace a la licencia Creative Commons e indique si se realizaron cambios. Las imágenes u otro material de terceros en este artículo están incluidos en la licencia Creative Commons del artículo, a menos que se indique lo contrario en una línea de crédito al material. Si el material no está incluido en la licencia Creative Commons del artículo y su uso previsto no está permitido por la normativa legal o excede el uso permitido, deberá obtener permiso directamente del titular de los derechos de autor. Para ver una copia de esta licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/.

Reimpresiones y permisos

Chern, RL. Estados superficiales fotónicos similares a helicoides en metamateriales quirales. Informe científico 13, 13934 (2023). https://doi.org/10.1038/s41598-023-40926-8

Descargar cita

Recibido: 31 de mayo de 2023

Aceptado: 18 de agosto de 2023

Publicado: 25 de agosto de 2023

DOI: https://doi.org/10.1038/s41598-023-40926-8

Cualquier persona con la que compartas el siguiente enlace podrá leer este contenido:

Lo sentimos, actualmente no hay un enlace para compartir disponible para este artículo.

Proporcionado por la iniciativa de intercambio de contenidos Springer Nature SharedIt

Al enviar un comentario, acepta cumplir con nuestros Términos y pautas de la comunidad. Si encuentra algo abusivo o que no cumple con nuestros términos o pautas, márquelo como inapropiado.